I tried to write formulas (part 5)

Mathematics

＜Linear Differential Operator＞

　A linear combination of differential operators \left(\frac{d}{dx}\right)^i (i=0, 1, 2, \cdots, n)is described as below.

\begin{eqnarray}\sum_{i=0}^na_i\left(\frac{d}{dx}\right)^i\end{eqnarray}

Then, the next formula is true.

\begin{eqnarray}\sum_{i=0}^na_i\left(\frac{d}{dx}\right)^{i}e^{ax}y&=& e^{ax}\sum_{i=0}^na_i\left(\frac{d}{dx}+a\right)^{i}y \end{eqnarray}

The formula can be derived as follows. First, the next formula must be introduced.

\begin{eqnarray}\left(\frac{d}{dx}\right)^{i}e^{ax}y &=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)^{i}y\end{eqnarray}

(a)i=1

\begin{eqnarray}\left(\frac{d}{dx}\right)e^{ax}y &=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}\right)y +yae^{ax} \notag\\&=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)y \end{eqnarray}

(b)i=k+1

We assume that the formula (3) is true when i=k. Then, the formula (3) is true when i=k+1.

\begin{eqnarray}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k+1}e^{ax}y &=& \left(\frac{d}{dx}\right)\left(\frac{d}{dx}\right)^ke^{ax}y \notag\\&=& \left(\frac{d}{dx}\right)e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)^ky\notag\\&=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}\right)\left(\frac{d}{dx}+a\right)^ky+ae^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)^ky\notag\\&=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)\left(\frac{d}{dx}+a\right)^ky\notag\\&=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)^{k+1}y\end{eqnarray}

The formula (3) is proved inductively as above. Therefore, the formula (2) can be introduced by summing up the formula (3).

 

 

 

＜線形微分演算子＞

　微分演算子の線形結合 \left(\frac{d}{dx}\right)^i (i=0, 1, 2, \cdots, n)を次のように記述する。

\begin{eqnarray}\sum_{i=0}^na_i\left(\frac{d}{dx}\right)^i\end{eqnarray}

すると、次の公式が成り立つ。

\begin{eqnarray}\sum_{i=0}^na_i\left(\frac{d}{dx}\right)^{i}e^{ax}y&=& e^{ax}\sum_{i=0}^na_i\left(\frac{d}{dx}+a\right)^{i}y \end{eqnarray}

この公式は次のように導出することができる。まず、次の公式を導入する。

\begin{eqnarray}\left(\frac{d}{dx}\right)^{i}e^{ax}y &=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)^{i}y\end{eqnarray}

(a)i=1

\begin{eqnarray}\left(\frac{d}{dx}\right)e^{ax}y &=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}\right)y +yae^{ax} \notag\\&=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)y \end{eqnarray}

(b)i=k+1

i=kのとき、公式(8)が成り立つと仮定する。すると、 i=k+1のときも公式(8)が成り立つ。

\begin{eqnarray}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k+1}e^{ax}y &=& \left(\frac{d}{dx}\right)\left(\frac{d}{dx}\right)^ke^{ax}y \notag\\&=& \left(\frac{d}{dx}\right)e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)^ky\notag\\&=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}\right)\left(\frac{d}{dx}+a\right)^ky+ae^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)^ky\notag\\&=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)\left(\frac{d}{dx}+a\right)^ky\notag\\&=& e^{ax}\left(\frac{d}{dx}+a\right)^{k+1}y\end{eqnarray}

上記のようにして、公式(8)は帰納的に証明された。それゆえ、公式(7)は公式(8)を足し合わせることによって導出できる。