I tried to write formulas (part 9)

＜Complete Normalized Orthogonal System＞完全正規直交系(正規直交基底)

　The j-th wave function is expressed by complete normalized orthogonal system as follows.(j番目の波動関数は完全正規直交系を用いて次のように表される。) \begin{eqnarray}\psi_j(\boldsymbol r)&=&\sum_{i=0}^{\infty}c_{ij}\psi_{ij}(\boldsymbol r)\end{eqnarray}

Then, Schrödinger's wave equation is deformed as below.(すると、シュレーディンガーの波動方程式は次のように変形できる。)

\begin{eqnarray}\hat{H}(\boldsymbol r, t)\psi_j(\boldsymbol r)&=&E_j\psi_j(\boldsymbol r)\notag\\\hat{H}(\boldsymbol r, t)\sum_{i=0}^{\infty}C_{ij}\psi_{ij}(\boldsymbol r)&=&E_j\sum_{i=0}^{\infty}C_{ij}\psi_{ij}(\boldsymbol r)\notag\\\int d\boldsymbol r\psi_{kj}^{*}(\boldsymbol r)\hat{H}(\boldsymbol r, t)\sum_{i=0}^{\infty}C_{ij}\psi_{ij}(\boldsymbol r)&=&\int d\boldsymbol r\psi_{kj}^{*}(\boldsymbol r)E_j\sum_{i=0}^{\infty}C_{ij}\psi_{ij}(\boldsymbol r)\notag\\\sum_{i=0}^{\infty}C_{ij}\int d\boldsymbol r\psi_{kj}^{*}(\boldsymbol r)\hat{H}(\boldsymbol r, t)\psi_{ij}(\boldsymbol r)&=&E_j\sum_{i=0}^{\infty}C_{ij}\int d\boldsymbol r\psi_{kj}^{*}(\boldsymbol r)\psi_{ij}(\boldsymbol r)\notag\\\sum_{i=0}^{\infty}H_{ki}C_{ij}&=&E_j\sum_{i=0}^{\infty}\delta_{ki}C_{ij}\notag\\\Biggl(\because \int d\boldsymbol r\psi_{kj}^{*}(\boldsymbol r)\hat{H}(\boldsymbol r, t)\psi_{ij}(\boldsymbol r)&{\equiv}&H_{ki} , \int d\boldsymbol r\psi_{kj}^{*}(\boldsymbol r)\psi_{ij}(\boldsymbol r)=\delta_{ki}\Biggl)\notag \\\sum_{i=0}^{\infty}H_{ki}C_{ij}&=&E_j\delta_{kk}C_{kj}=E_jC_{kj}\notag\\ \begin{pmatrix}H_{k0} \space H_{k1} \cdots H_{kn} \cdots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{0j} \\ C_{1j} \\\vdots\\C_{nj}\\\vdots \end{pmatrix}&=&E_jC_{kj}\notag\\ \begin{pmatrix}H_{00} \space H_{01} \cdots H_{0n} \cdots\\H_{10} \space H_{11} \cdots H_{1n} \cdots\\\vdots\\H_{n0} \space H_{n1} \cdots H_{nn}\cdots\\\vdots\end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{0j} \\ C_{1j} \\\vdots\\C_{nj}\\\vdots \end{pmatrix} &=&E_j\begin{pmatrix} C_{0j} \\ C_{1j} \\\vdots\\C_{nj}\\\vdots \end{pmatrix} \notag\\ H\boldsymbol u_j &=&E_j\boldsymbol u_j \Biggl(\because \boldsymbol u_j{\equiv}\begin{pmatrix} C_{0j} \\ C_{1j} \\\vdots\\C_{nj}\\\vdots \end{pmatrix}\Biggr) \end{eqnarray}